# 五个点，两种切空间

精确比较两个 Hilbert 函数均为 (1, 3, 1) 的 Artin 商代数。

2026-10-17 · 学习记录 · 代数复算

> 根据所引文献中的例子与精确种子核算，由助手协助整理。本文提供候选课题的起点计算，不作为新定理或已经独立完成的项目。

## 已有学习起点

已有 A–M 学习涉及 Artin 结构、幂零元与局部环。长度五的比较由助手在网站选题阶段选择和核算，不是已记录的本人发现。

## 需要保持的区别

两个商代数具有相同的分次 Hilbert 函数，而 21/15 针对完整嵌入变形；限制到齐次 degree-zero 映射则为 5/5。独立推导完整二阶障碍仍是后续任务。

## 研究对象

在有理数域上工作。有限商代数 S/I 是有限维向量空间，其维数等于相应零维概形的长度。下面两个理想都齐次，并且支撑在原点。

$$
S=\mathbb Q[x,y,z],\qquad A_j=S/I_j,
$$

$$
\begin{aligned}I_1&=(x^2,xy,xz,y^2,yz,z^3),\\ I_2&=(x^2,xy,xz,y^2,z^2).\end{aligned}
$$

标准单项式是没有被 I 的任何单项式生成元整除的单项式。它们给出 S/I 的显式向量空间基。两个商代数的分次维数相同，乘法却不同。

$$
\begin{aligned}\mathcal B_1&=(1,x,y,z,z^2),\\\mathcal B_2&=(1,x,y,z,yz),\\H_{A_1}(t)&=H_{A_2}(t)=1+3t+t^2.\end{aligned}
$$

## Hilbert 函数没有记录什么

在正次数基元素的乘积中，A₁ 只有 z·z 非零；A₂ 只有 y·z 非零。被极大理想消去的元素组成 socle，它已经能够区分两者。

$$
\operatorname{Soc}(A_1)=\langle x,y,z^2\rangle,\qquad\operatorname{Soc}(A_2)=\langle x,yz\rangle.
$$

所以 Hilbert 函数相等不意味着代数同构。接下来考虑它们作为仿射三维空间中的闭子概形时，嵌入变形有什么不同。

## 从一阶变形到 Hom

使用对偶数环 D=Q[ε]/(ε²)。商代数的平坦一阶变形，可以局部地把 I 中的 f 提升为 D 上某个理想中的 f+εg。把 g 模掉 I 得到映射 φ:I→S/I；改变提升不会改变这个剩余类。与 S 中元素相乘的相容性要求 φ 是 S-线性的。这个符号约定把切向量记为 φ，改用 f−εg 则符号相反。

$$
T_{[I]}\operatorname{Hilb}^5(\mathbb A^3_{\mathbb Q})\simeq \operatorname{Hom}_S(I,S/I).
$$

这里是完整 Hilbert 概形的切空间，允许所有嵌入的一阶变形。它不是只取次数为零的 Hom，也不是只考虑保持某个分次表示的变形。

## 有限个精确线性方程

写 I=(m₁,…,mᵣ)。一个 S-线性映射由 r 个五维商空间中的向量 φ(mᵢ) 决定。每对单项式生成元的最小公倍数都给出一条关系；这些两两关系生成关系模，所以施加这些约束已经足够。

$$
\frac{\operatorname{lcm}(m_i,m_j)}{m_i}\varphi(m_i)-\frac{\operatorname{lcm}(m_i,m_j)}{m_j}\varphi(m_j)=0\quad\text{in }S/I.
$$

把每个表达式在标准单项式基下展开。精确有理数行化简得到：I₁ 有 30 个未知系数、约束秩为 9；I₂ 有 25 个未知系数、约束秩为 10。

$$
\dim_{\mathbb Q}\operatorname{Hom}_S(I_1,A_1)=21,\qquad\dim_{\mathbb Q}\operatorname{Hom}_S(I_2,A_2)=15.
$$

交互核算见网站正文；经典种子脚本与结果随网站提供。

## 尚待推进的研究步骤

只计算切空间维数，尚未构造二阶提升。下一步应选取具体切向量，在 Q[ε]/(ε³) 上提升关系，确定二次相容方程。维数跳变只是起点观察，不能据此断言随意选择的方向必然有障碍。

有价值的课题应限定一族固定基的代数，计算秩跳变的位置，再沿这个位置研究能否提升。对单项式点已有的光滑性判据，必须先核对再谈新颖性。

## 来源

- [Jelisiejew, Ramkumar & Sammartano — The Hilbert scheme of points on a threefold: broken Gorenstein structures and linkage](https://arxiv.org/html/2409.17009v2)