# 粗信息无法区分的两个负 Pell 方程

145 与 305：相同的同余签名，相反的整数可解性。

2026-10-17 · 学习记录 · 经典判据

> 由助手为算术候选课题准备的起点例子。连分数周期与整数恒等式均作精确核算，不声称得到一般密度或新的可解性判据。

## 例子进入记录的方式

已有数论阅读包括 Pell 方程、二次环和 p 进观点。145/305 由助手作为经典对照选入；目前没有据此声称独立发现的记录。

## 可以实际检验的下一问题

周期判据已经回答可解性。下一步候选固定 d=5q，问两种指定四次符号能解释什么，并用精确反例检验；不能把另一张有限搜索表当作无解证明。

## 明确讨论整数可解性

$$
x^2-dy^2=-1,\qquad x,y\in\mathbb Z,\quad d>1\text{ nonsquare}.
$$

这里的整数条件不可省略。圆锥曲线上的有理点，与范数为 −1 的整单位是不同要求。有限搜索没有找到整数对，不能据此判定方程无解。

下面两个平方自由被开方数都有两个素因子，每个素因子均模 8 余 5；指定的 Legendre 符号也都为 +1。实际有 11²≡5 (mod 29)、26²≡5 (mod 61)。

$$
145=5\cdot29,\qquad305=5\cdot61,\qquad\left(\frac5{29}\right)=\left(\frac5{61}\right)=1.
$$

## 周期给出完整判别

对正的非平方整数 d，写 √d 的简单连分数为 [a₀; overline(a₁,…,aL)]。经典负 Pell 判据指出：有整数解当且仅当周期长度 L 为奇数。这是关于周期的定理，不是有界搜索的经验规律。

$$
\sqrt{145}=[12;\overline{24}],\qquad\sqrt{305}=[17;\overline{2,6,2,34}].
$$

第一个周期长度为 1，给出 (x,y)=(12,1)。第二个周期长度为 4，因此排除了所有整数解，包括任何实际搜索范围之外的解。

$$
12^2-145\cdot1^2=-1.
$$

## 始终使用整数计算

从 m₀=0、q₀=1、a₀=floor(√d) 开始。完整商递推可以避免浮点相减，直接求出周期；当下一系数等于 2a₀ 时结束一个周期。

$$
\begin{aligned}m_{n+1}&=q_na_n-m_n,\\q_{n+1}&=\frac{d-m_{n+1}^2}{q_n},\\a_{n+1}&=\left\lfloor\frac{a_0+m_{n+1}}{q_{n+1}}\right\rfloor.\end{aligned}
$$

当周期为奇数时，系数 a₀,…,aL₋₁ 对应的渐近分数给出一个解。下方交互计算对分子、分母使用任意精度整数，再精确验证 x²−dy²=−1。输入上限用于控制浏览器计算量，不是定理的限制。

交互核算见网站正文；经典种子脚本与结果随网站提供。

## 更强的不变量必须解释什么

这些例子只否定了所展示粗签名的充分性。它们没有说明所有局部信息都无用，也没有说明类群可以自动解决每一种表述。下一步必须固定对象族，并准确提出要研究的不变量。

在 Z[√d] 中有单位的解释：一个解给出范数为 −1 的单位 x+y√d。当 d≡1 (mod 4) 时，整数环还包含半整数形式的元素；不能未经核对单位之间的关系，就把序 Z[√d] 悄悄替换为更大的整数环。

Stevenhagen 密度猜想已有 Koymans–Pagano 的解决工作。候选课题是进入限定判别问题及相关方法的路径，不把已解决的猜想重新包装为未知问题。

## 来源

- [Koymans & Pagano — On Stevenhagen’s conjecture](https://arxiv.org/abs/2201.13424)