# 特征从哪里进入自由分解

从六顶点射影平面出发，看两项 Betti 数怎样发生变化。

2026-10-17 · 学习记录 · 链复形计算

> 由助手整理的经典例子，并用 Python/SymPy 交叉核算。本文调用一般 Hochster 公式，不声称此前的学习记录已经独立完成其证明。

## 保存过的具体追问

单项式理想阅读中，我问过生成元怎样引出正合链，以及怎样知道列出的向量生成整个核。这里的射影平面例子是助手准备的后续材料，不表示我此前已独立证明 Hochster 公式。

## 比较时真正改变的对象

整数边界矩阵保持不变，改变系数会改变秩；把同调译为 Betti 下标时还须区分理想与商环。一般公式的证明与在此例中调用它，是两项不同工作。

## 先固定复形，再改变域

令 Δ 的顶点为 1,…,6，极大面取下列十个三角形。每条边都属于两个三角形。这是实射影平面的标准六顶点三角剖分，一维骨架是完全图 K₆。完全图本身不是整个剖分，还必须指定哪些三角形被填入。

$$
123,124,135,146,156,236,245,256,345,346.
$$

按递增顶点顺序定向每个单纯形。域 k 上的链群维数分别为 6、15、10。边界运算每次删除一个顶点，并取交错符号。

$$
\partial_2[i,j,\ell]=[j,\ell]-[i,\ell]+[i,j],\qquad\partial_1[i,j]=[j]-[i].
$$

$$
k^{10}\xrightarrow{\partial_2}k^{15}\xrightarrow{\partial_1}k^6,\qquad\partial_1\partial_2=0.
$$

## 同一个整数矩阵，不同的秩

在 Q 上用精确整数消元计算秩，或把带符号矩阵模素数后做有限域消元。这里没有浮点容差。复形连通使得两种系数下 ∂₁ 的秩都为 5。

| 系数域 | rank ∂₂ | dim H₁ | dim H₂ |
| --- | --- | --- | --- |
| Q | 10 | 0 | 0 |
| F₂ | 9 | 1 | 1 |

$$
\begin{aligned}\dim H_1(\Delta;k)&=15-\operatorname{rank}\partial_1-\operatorname{rank}\partial_2,\\\dim H_2(\Delta;k)&=10-\operatorname{rank}\partial_2.\end{aligned}
$$

交互核算见网站正文；经典种子脚本与结果随网站提供。

第二边界整数矩阵的非零 Smith 对角元为九个 1 和一个 2。结合第一边界，得到 H₁(Δ;Z)≅Z/2、H₂(Δ;Z)=0。普遍系数定理解释了两个模二同调群：H₁ 来自整数 H₁ 的张量项，H₂ 来自它的 Tor 项。

## 从拓扑到分次 Betti 数

令 S=k[x₁,…,x₆]，IΔ 为由非面的平方自由单项式生成的 Stanley–Reisner 理想。商环 k[Δ]=S/IΔ 的 Hochster 公式为：

$$
\beta_{i,j}^{S}(k[\Delta])=\sum_{\substack{W\subseteq[6]\\|W|=j}}\dim_k\widetilde H_{j-i-1}(\Delta_W;k).
$$

当 j=6 时只有一个顶点子集。H₂ 对应 i=3，H₁ 对应 i=4。因此全顶点次数处的两项在特征二下都增加 1：

$$
\begin{aligned}\beta_{3,6}^{\mathbb F_2}(S/I_\Delta)-\beta_{3,6}^{\mathbb Q}(S/I_\Delta)&=1,\\\beta_{4,6}^{\mathbb F_2}(S/I_\Delta)-\beta_{4,6}^{\mathbb Q}(S/I_\Delta)&=1.\end{aligned}
$$

这些下标指的是 S/IΔ。对理想自身，i≥0 时有 βᵢⱼ(IΔ)=βᵢ₊₁,ⱼ(S/IΔ)。混淆理想与商环会造成同调下标错位。

## 为什么取幂是真正的下一步

IΔ² 通常不再平方自由。不能给 Δ 随手加一个指数就继续套用上述 Hochster 公式。极化可以在更多变量中把单项式理想替换为平方自由理想，同时保持分次 Betti 数，但必须实际构造对应复形。

具体课题应选定一族可控细分，比较前几个幂，再寻找解释特征依赖如何传播或消失的机制。有限表格可以为机制提供证据，却不能证明所有幂。

## 来源

- [Miller & Perkinson — Eight Lectures on Monomial Ideals](https://sites.math.duke.edu/~ezra/Queens/cocoa.pdf)

- [Bolognini et al. — Powers of monomial ideals with characteristic-dependent Betti numbers](https://link.springer.com/article/10.1007/s40687-022-00318-2)