根据所引文献中的例子与精确种子核算，由助手协助整理。本文提供候选课题的起点计算，不作为新定理或已经独立完成的项目。
这篇笔记怎样形成 已有学习起点 已有 A–M 学习涉及 Artin 结构、幂零元与局部环。长度五的比较由助手在网站选题阶段选择和核算，不是已记录的本人发现。
需要保持的区别 两个商代数具有相同的分次 Hilbert 函数，而 21/15 针对完整嵌入变形；限制到齐次 degree-zero 映射则为 5/5。独立推导完整二阶障碍仍是后续任务。
研究对象 在有理数域上工作。有限商代数 S/I 是有限维向量空间，其维数等于相应零维概形的长度。下面两个理想都齐次，并且支撑在原点。
S = Q [ x , y , z ] , A j = S / I j , S=\mathbb Q[x,y,z],\qquad A_j=S/I_j, S = Q [ x , y , z ] , A j = S / I j , I 1 = ( x 2 , x y , x z , y 2 , y z , z 3 ) , I 2 = ( x 2 , x y , x z , y 2 , z 2 ) . \begin{aligned}I_1&=(x^2,xy,xz,y^2,yz,z^3),\\ I_2&=(x^2,xy,xz,y^2,z^2).\end{aligned} I 1 I 2 = ( x 2 , x y , x z , y 2 , y z , z 3 ) , = ( x 2 , x y , x z , y 2 , z 2 ) . 标准单项式是没有被 I 的任何单项式生成元整除的单项式。它们给出 S/I 的显式向量空间基。两个商代数的分次维数相同，乘法却不同。
B 1 = ( 1 , x , y , z , z 2 ) , B 2 = ( 1 , x , y , z , y z ) , H A 1 ( t ) = H A 2 ( t ) = 1 + 3 t + t 2 . \begin{aligned}\mathcal B_1&=(1,x,y,z,z^2),\\\mathcal B_2&=(1,x,y,z,yz),\\H_{A_1}(t)&=H_{A_2}(t)=1+3t+t^2.\end{aligned} B 1 B 2 H A 1 ( t ) = ( 1 , x , y , z , z 2 ) , = ( 1 , x , y , z , y z ) , = H A 2 ( t ) = 1 + 3 t + t 2 . Hilbert 函数没有记录什么 在正次数基元素的乘积中，A₁ 只有 z·z 非零；A₂ 只有 y·z 非零。被极大理想消去的元素组成 socle，它已经能够区分两者。
Soc ( A 1 ) = ⟨ x , y , z 2 ⟩ , Soc ( A 2 ) = ⟨ x , y z ⟩ . \operatorname{Soc}(A_1)=\langle x,y,z^2\rangle,\qquad\operatorname{Soc}(A_2)=\langle x,yz\rangle. Soc ( A 1 ) = ⟨ x , y , z 2 ⟩ , Soc ( A 2 ) = ⟨ x , y z ⟩ . 所以 Hilbert 函数相等不意味着代数同构。接下来考虑它们作为仿射三维空间中的闭子概形时，嵌入变形有什么不同。
从一阶变形到 Hom 使用对偶数环 D=Q[ε]/(ε²)。商代数的平坦一阶变形，可以局部地把 I 中的 f 提升为 D 上某个理想中的 f+εg。把 g 模掉 I 得到映射 φ:I→S/I；改变提升不会改变这个剩余类。与 S 中元素相乘的相容性要求 φ 是 S-线性的。这个符号约定把切向量记为 φ，改用 f−εg 则符号相反。
T [ I ] Hilb 5 ( A Q 3 ) ≃ Hom S ( I , S / I ) . T_{[I]}\operatorname{Hilb}^5(\mathbb A^3_{\mathbb Q})\simeq \operatorname{Hom}_S(I,S/I). T [ I ] Hilb 5 ( A Q 3 ) ≃ Hom S ( I , S / I ) . 这里是完整 Hilbert 概形的切空间，允许所有嵌入的一阶变形。它不是只取次数为零的 Hom，也不是只考虑保持某个分次表示的变形。
有限个精确线性方程 写 I=(m₁,…,mᵣ)。一个 S-线性映射由 r 个五维商空间中的向量 φ(mᵢ) 决定。每对单项式生成元的最小公倍数都给出一条关系；这些两两关系生成关系模，所以施加这些约束已经足够。
lcm ( m i , m j ) m i φ ( m i ) − lcm ( m i , m j ) m j φ ( m j ) = 0 in S / I . \frac{\operatorname{lcm}(m_i,m_j)}{m_i}\varphi(m_i)-\frac{\operatorname{lcm}(m_i,m_j)}{m_j}\varphi(m_j)=0\quad\text{in }S/I. m i lcm ( m i , m j ) φ ( m i ) − m j lcm ( m i , m j ) φ ( m j ) = 0 in S / I . 把每个表达式在标准单项式基下展开。精确有理数行化简得到：I₁ 有 30 个未知系数、约束秩为 9；I₂ 有 25 个未知系数、约束秩为 10。
dim Q Hom S ( I 1 , A 1 ) = 21 , dim Q Hom S ( I 2 , A 2 ) = 15. \dim_{\mathbb Q}\operatorname{Hom}_S(I_1,A_1)=21,\qquad\dim_{\mathbb Q}\operatorname{Hom}_S(I_2,A_2)=15. dim Q Hom S ( I 1 , A 1 ) = 21 , dim Q Hom S ( I 2 , A 2 ) = 15. 重新计算两个商代数 理想 I₁ I₂
标准基 1, z, z^2, y, x
Socle 基 z^2, y, x
H (1, 3, 1)
dim Hom 21 使用所有两两最小公倍数关系，在 Q 上作精确线性代数计算。
尚待推进的研究步骤 有价值的课题应限定一族固定基的代数，计算秩跳变的位置，再沿这个位置研究能否提升。对单项式点已有的光滑性判据，必须先核对再谈新颖性。
来源与可复核材料 Python 核算需要 SymPy 1.14.0。三角形边理想的正合性由上文完整核证明建立，种子脚本不替代它。