理想 (ab, bc, ca) 的关系

整理本人关于 I=(ab,bc,ca) 的提问。完整证明由助手协助提供，保留归属及尚待独立重建的边界。

这篇笔记怎样形成

我提出 I=(ab,bc,ca)，猜测是否有“2重自由的可能”；还追问“不懂这里是如何扯到正合链的”，以及为什么列出的向量能够生成整个核。

理想本身不自由，自由秩为 2 的是关系模。下文完整核证明由助手提供。相邻教材例子中，我还问过关系之间既然有关系为何不能删生成元；其系数不是单位，所以不能这样消去。

我曾把不能直接删关系与继续构造自由分解联系起来。这是实际提问和局部复述，不是已经独立重建全部正合性、极小性证明的证据。脱离所给证明再重建一次，仍是有价值的复习任务。

S=k[a,b,c],\qquad I=(ab,bc,ca),\qquad R=S/I.

三个单项式生成 I 这个 S-模，但不是自由基，因为它们之间存在多项式系数的关系。整环中的非零理想与分式域张量后秩为 1；若它自由，就必须为主理想。此处理想不是主理想：共同生成元必须整除 ab、bc、ca，而三者最大公因子为 1，I 又是真理想。

秩为 2 的自由模实际上出现在这三个生成元的关系模中。这区分了理想、选定生成元对应的自由模，以及表示映射的核。

A_1=\begin{pmatrix}ab&bc&ca\end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix}c&0\\0&a\\-b&-b\end{pmatrix}.

列向量 (c,0,−b) 与 (0,a,−b) 是关系。要证明它们生成所有关系，任取 abp+bcq+car=0。后两项被 c 整除，且 c 与 ab 互素，故 p=cu。同理 q=av。代入并在整环中消去公因子，得到 r=−b(u+v)。

(p,q,r)=u(c,0,-b)+v(0,a,-b).

若上式等于零，前两个坐标给出 cu=0、av=0，所以 u=v=0。因此 A₂ 单射，而且它的像恰好是 A₁ 的核。

0\longrightarrow S(-3)^2\xrightarrow{A_2}S(-2)^3\xrightarrow{A_1}S\longrightarrow R\longrightarrow0.

令每个变量次数为 1。I 的生成元次数为 2，两条关系的总次数为 3。自由模之间的微分矩阵元素都属于齐次极大理想，所以这是极小分次自由分解。

\beta_{0,0}(R)=1,\quad\beta_{1,2}(R)=3,\quad\beta_{2,3}(R)=2.

删掉末端的 S，得到理想 I 自身的自由分解，Betti 秩为 (3,2)；商环 R 的 Betti 秩为 (1,3,2)。两个秩序列对应不同的模。

\begin{aligned}H_R(t)&=\frac{1-3t^2+2t^3}{(1-t)^3}\\&=\frac{1+2t}{1-t}\\&=1+3t+3t^2+3t^3+\cdots.\end{aligned}

也可以直接计数：正次数下，存活的单项式必须为 a、b、c 中某一个变量的纯幂，所以每个正次数都有三个。自由分解的交错和给出相同级数。

对应的 Stanley–Reisner 复形由三个孤立顶点组成。在多重次数 abc 处，其约化零维同调维数为 2，Hochster 公式因此恢复 β₂,₃(R)=2。在每个两顶点次数处，两个孤立顶点给出一个贡献，从而得到 β₁,₂ 的三项。

这把精确核证明、生成函数与拓扑放在同一个理想上联系起来。它也是特征依赖课题的实质准备：必须知道一个 Betti 数究竟在测量哪个模、哪个次数、哪个同调群。

Python 核算需要 SymPy 1.14.0。三角形边理想的正合性由上文完整核证明建立，种子脚本不替代它。