有限点簇怎样变形

问题与范围

对下面的 Iₜ，长度五商代数的哪些嵌入一阶变形可以提升到二阶？

在 Q 上的 Hilb⁵(A³) 中允许全部嵌入变形。共同的分次 Hilbert 函数描述起始点，不要求每个变形都保持分次；若限制为齐次的 degree-zero 变形，原来两例的切空间维数均为 5。

I_t=(x^2,xy,xz,yz,y^2-tz^2,z^3),\qquad\mathcal B=(1,x,y,z,z^2).

在所列基下写出 Q[t] 上的乘法矩阵。t=0 为 I₁；t=−1 时令 u=y+z、v=y−z，二次关系 y²+z² 与 yz 化为 u²、v²，从而在 Q 上得到 I₂。这里没有将所有非零有理纤维都认作 I₂。

先验证约化确实给出这个秩五的 Q[t]-自由基。下列矩阵列保持固定，其中 eₘ 是基单项式 m 的坐标向量，各阶扰动在这些列上均为零；然后才把两两交换的方程线性化。选定一阶方向 Aᵢ 后，在 Mᵢ+εAᵢ+ε²Bᵢ 中求解 ε² 阶的 Bᵢ，给出实际提升或准确的不相容线性条件。

\begin{aligned}M_xe_1&=e_x,&M_ye_1&=e_y,\\M_ze_1&=e_z,&M_ze_z&=e_{z^2}.\end{aligned}

21/15 这组例子与三变量单项式点的光滑性判据已有文献。首轮是具体变形计算的试做；推进前须将方程和障碍解释与已有判据核对，复现已知局部模型仍属于学习准备。

三变量单项式点的光滑性已有判据。新的贡献须限定对象族或变形问题，并另行核查文献。

S = ℚ[x, y, z]

I₁ = (x², xy, xz, y², yz, z³)

I₂ = (x², xy, xz, y², z²)

H = (1, 3, 1) · dim_ℚ Hom_S(I₁, S/I₁) = 21 · dim_ℚ Hom_S(I₂, S/I₂) = 15

例子来自所引论文。精确计算由助手在选题阶段准备，属于经典基准复算，不作为个人原创结果。

与本提案相关的经典背景和例子复算。

交换代数代数几何变形理论