问题与范围
在下面的素数族 d=5q 中，两种四次剩余符号能解释负 Pell 可解性的哪些部分，又在哪里失效？
范围为素数 q≡5 (mod8)、q≠5 且 Legendre 符号 (5/q)=1。两种有理四次剩余符号分别由 5^((q−1)/4) mod q 与 q^((5−1)/4) mod5 的 ±1 值定义。连分数周期奇偶性已经判定整数解；此处目标是解释这个限定族的结构。
首轮试做：把签名当作待检验的假设
对这个族中 q≤10000 的素数，记录两种四次符号、精确周期及存在时的范数 −1 整数证书。挑出同签名而结论相反的例子。有限计算检验的是候选签名，不是密度或无限族定理。
下一步比较 Q(√d) 的普通与窄理想类群，以及窄类群中主理想 (√d) 的类。先写清它与负范数单位存在性的关系，再选择更细的 2-部分不变量。先核对已有四次互反律和类群判据，此处不提前声称充分性。
已知边界
145/305 只否定所列二次签名的充分性。精确试做还给出 q=101、461，两种四次符号均为 (+1,+1)，而 √505、√2305 周期长度分别为 4、1。这是助手准备的对照例子，不是新定理。Stevenhagen 密度问题已有解决；限定判据的新颖性仍需文献核查。
Stevenhagen 密度猜想已有解决工作。本课题关注限定族的判别问题，并借此进入算术统计的方法。
相同的粗信息，不同的答案
x² − dy² = −1 (x, y ∈ ℤ)
d = 145 = 5 · 29 : 12² − 145 = −1
d = 305 = 5 · 61 : √305 = [17; 2, 6, 2, 34, …]
√305 的连分数周期长度为偶数，由经典周期判据得到无整数解。这是精确起点计算，不能仅凭有限搜索未找到解就断言无解。
学习准备
与本提案相关的经典背景和例子复算。
拟开展的工作
- 在固定素数族中比较两种已命名的四次符号，保留精确整数证书。
- 用 505/2305 作同四次签名的核验例子，区分有限与一般结论。
- 推导负范数单位与窄类群的对应，再选定并查验更细不变量。
- 连分数
- 范数与单位
- 局部方法
- 窄类群