问题与范围
对六顶点射影平面 Δ 的重心细分 Δᵣ=sdʳ(Δ)，IΔᵣ 的平方、立方中，特征二的 Betti 差异怎样变化？
令 Δ₀=Δ、Δᵣ₊₁=sd(Δᵣ)，每个顶点对应一个变量并记 Jᵣ=IΔᵣ。研究理想自身的 βᵢ(Jᵣʰ)，不是商环的下标。第一次细分有 31 个顶点，完整分解需先检查计算可行性。
首轮试做：把细分与添加单项式分开
精确构造 sd(Δ) 的极大面和极小非面，去重生成 J₁²、J₁³。先用极化或 lcm 格筛出候选多重次数，再决定是否做完整分解；r=0 的计算作为文献基准。
已知边界
Bolognini 等（2022）Proposition 3.1 说明：固定 i 与素数 p 后，高次幂是否依赖特征最终稳定。§3.1 报告原六顶点例子的 h=2,…,10 没有该差异，这是有限计算。Theorem 4.3 在添加新不相交变量上的单项式后传播差异；Corollary 4.8 也在细分构造后作这种添加。这些结果须与此处不添加单项式的 Jᵣ 分开。r≥1 时，重心细分使 Δᵣ 成为 flag 复形。Javadekar（2026 预印本）Corollary 1.2 将此前已知的 β₁,…,β₆(S/Jᵣ) 的系数域无关性推进到 β₇(S/Jᵣ)。换成理想自身的下标，即 h=1 时 β₀,…,β₆(Jᵣ) 与系数域无关；这不覆盖 Jᵣ²、Jᵣ³。
理想的幂未必平方自由，不能直接把原复形的 Hochster 公式用于每个幂。候选对象族的新颖性仍待核查。
同一个边界矩阵，两种系数域
|Δ| ≅ ℝP² · f = (6, 15, 10)
rankℚ ∂₂ = 10 rank𝔽₂ ∂₂ = 9
δi,p(h) = βi𝔽p(Ih) − βiℚ(Ih)
特征二现象是经典结果。已保存的边界矩阵和 Smith 标准形计算是助手准备的研究起点，不是个人已独立完成的研究成果。上式差异序列中的 β 指理想 Iʰ 本身的自由分解。
学习准备
与本提案相关的经典背景和例子复算。
拟开展的工作
- 由固定极大面清单构造 J₀、J₁ 并记录生成元。
- 检查资源可行性，在已证明覆盖的多重次数中比较 h=2、3 的 Q/F₂ 结果。
- 与 Proposition 3.1、Theorem 4.3、Corollary 4.8 对照后，再提出传播命题。
- 整数同调与 Smith 标准形
- Hochster 公式
- 多重分次自由分解
- 极化与 lcm 格